CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Para una función f, que es continua en (a, b) y c(a, b); además, si f´ existe para todo x pertenece a (a, b), y tal vez no para x=c; se tiene que:

1.       Si f´(x)>0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tenga a c como su punto extremo o izquierdo, entonces f tiene un valor máximo relativo en c.

2.       Si f´(x) <0 para todos los valores de x en algún intercalo abierto que tenga a c como su punto extremo o derecho, y si f´(x) > 0 para todos los valores de x en algún intervalo abierto que tenga a c como su punto extremo de izquierdo, entonces f tiene un valor mínimo relativo en c.

En la siguiente figura se esboza la interpretación geométrica del teorema: “prueba de la primera derivada”.

En la figura se tiene un valor máximo relativo en c, y se observa que f´(x)>0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f´(x) <0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene un valor mínimo relativo en c, y se observa que f´(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo derecho) y f´(x)>0 para x>c (en algún intervalo que tiene a c como su extremo izquierdo).  

EJEMPLOS 

DERIVADAS

la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática  según cambie el valor de su variable independiente.

REGLAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN 

1ª) LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCIÓN es igual a la constante por la derivada de la función:

2ªa) LA DERIVADA DE UNA SUMA DE FUNCIONES es igual a la suma de las derivadas de las funciones:

2ªb) LA DERIVADA DE UNA DIFERENCIA DE FUNCIONES es igual a la diferencia de las derivadas de las funciones:

3ª) LA DERIVADA DE UN PRODUCTO DE FUNCIONES es igual a la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar más la primera función sin derivar por la derivada de la segunda función:

4ª) LA DERIVADA DE UN COCIENTE DE FUNCIONES es igual a la derivada de la función del numerador por la función del denominador sin derivar, menos la función del numerador sin derivar por la derivada de la función del denominador, dividido todo ello por la función del denominador al cuadrado:

5ª) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ELEVADA A OTRA es igual a la derivada de la expresión como exponencial más la derivada de la expresión como potencial:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

LA DERIVADA DEL LOGARITMO NEPERIANO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función de x dividida entre dicha función

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE DISTINTA DEL NÚMERO e

LA DERIVADA DE UN NÚMERO “a” DISTINTO DE “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual a ese número elevado a la función de x multiplicado por la derivada de dicha función y por el logaritmo neperiano del numero “a”

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE EL NÚMERO e

LA DERIVADA DEL NÚMERO “e” ELEVADO A UNA FUNCIÓN DE x es igual al número “e” elevado a dicha función de x multiplicado por la derivada de dicha función

IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SENO

LA DERIVADA DEL SENO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual al coseno de la función de x multiplicado por la derivada de dicha función

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSENO

LA DERIVADA DEL COSENO DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a menos seno de la función de x multiplicado por la derivada de dicha función

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA TANGENTE

LA DERIVADA DE LA TANGENTE DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función dividida por el coseno cuadrado de la función de x o también a la derivada de la función por la secante al cuadrado de la función

                DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COTANGENTE

LA DERIVADA DE LA COTANGENTE DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a menos la derivada de la función dividida por el seno cuadrado de la función de x o también a menos la derivada de la función por la cosecante al cuadrado de la función

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA SECANTE

LA DERIVADA DEL SECANTE DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a la derivada de la función multiplicada por el producto de la secante y la tangente de la función de x

DERIVADA DE LA FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA COSECANTE

LA DERIVADA DEL COSECANTE DE UNA FUNCIÓN DE x es igual a menos la derivada de la función multiplicada por el producto de la cosecante y la cotangente de la función de x

LAS DERIVADAS EN LA ARQUITECTURA 

CONTINUIDAD

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición. 

 

1. 

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto

1. 

2. 

3. 

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, por que sería cuestión de definir a f  en el punto "x " con el valor de L  para tener ya una función continua en ese punto. A propósito,  observe que sólo en este caso el límite existe.

CONTINUIDAD LATERAL

1. Continuidad por derecha  

ejemplo

2. Continuidad por izquierda

ejemplo: 

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

1. continuidad en un intervalo abierto 

ejemplo: 

2. continuidad en un intervalo cerrado 

ejemplo: 

3. continuidad de un intervalo semiabierto hacia la derecha

4. continuidad de un intervalo semiabierto hacia la izquierda

EJEMPLO