CONTINUIDAD

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Sin embargo se hace necesario formalizar matemáticamente esta definición. 

 

1. 

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto

1. 

2. 

3. 

Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, por que sería cuestión de definir a f  en el punto "x " con el valor de L  para tener ya una función continua en ese punto. A propósito,  observe que sólo en este caso el límite existe.

CONTINUIDAD LATERAL

1. Continuidad por derecha  

ejemplo

2. Continuidad por izquierda

ejemplo: 

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO

1. continuidad en un intervalo abierto 

ejemplo: 

2. continuidad en un intervalo cerrado 

ejemplo: 

3. continuidad de un intervalo semiabierto hacia la derecha

4. continuidad de un intervalo semiabierto hacia la izquierda

EJEMPLO 

LIMITES

                                                                         

Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a "a" (salvo posiblemente e "a") y L un numero real. La afirmación 

                                                                                              

significa que para todo  > 0 existe uno  > 0 tal que si 

                                                                              0<|x-c| < , entonces |f(x) - L < .

PROPIEDADES DE LOS LIMITES 

ejemplo 1

ejemplo 2 

LIMITE POR RACIONALIZACIÓN

Este tipo de limites se presenta cuando aparece una raíz en el numerador o el denominador de una función racional y está al ser evaluado el limite se vuelve cero en el denominador.

Para estos limites tenemos que tener en cuenta lo siguiente:

Conjugado de un termino

Es un binomio que se toma con diferente signo entre dos factores.
Ejemplos:

Diferencia de cuadrados

El producto de dos binomios conjugados es una diferencia de cuadrados.
Ejemplos:

Pasos 

Para resolver los límites se realizan los siguientes pasos

1. Se escribe el conjugado del termino que tenga la raíz

2. Se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado

3. Se realizan las operaciones de multiplicación

4. Se elimina el termino que se vuelve cero en el denominador y en caso de ser necesario se factoriza.

5. se evalúa el valor del límite
ejemplo 1:


ejemplo 2: 

ejemplo 3: